Hilangnya Proses Bisa Menyebabkan Hilangnya Pemahaman Matematika

Posted on May 1, 2012 by Opan

Bagi seorang guru, tanya-jawab yang dilakukan pada saat pembelajaran merupakan hal yang biasa dilakukan. Kegiatan itu berguna untuk mengetahui sejauh mana kemampuan siswa-siswanya. Tanya-jawab yang dilakukan di awal pembelajaran bertujuan untuk mengetahui kemampuan awal siswa sebelum pembelajaran dilakukan. Dengan demikian, guru dapat menyesuaikan kegiatan pembelajaran dengan menyesuaikan kemampuan awal yang dimiliki siswa. Selain di awal pembelajaran, kadang saya sebagai guru juga melakukannya pada saat proses pembelajaran. Tujuannya berguna untuk mengetahui apakah informasi/materi pelajaran sampai atau tidak kepada siswa. Tanya-jawab yang sangat sering dilakukan adalah di akhir pembelajaran, jelas tujuannya untuk mengevaluasi kegiatan pembelajaran yang dilakukan.

Bagi saya, tanya-jawab pada pembelajaran sangat bermanfaat agar kita tetap bisa memantau kemajuan kemampuan siswa di awal pembelajaran, pada saat proses pembelajaran, dan diakhir pembelajaran. Kadang didapatkan temuan-temuan yang mengagetkan dari hasil tanya-jawab tersebut. Beberapa siswa ada yang pengetahuannya sudah melampaui apa yang hendak saya sampaikan, tapi ada juga siswa yang sulit mengikuti materi baru karena materi yang lama tidak dipahami dengan baik. Contoh kasus yang saya alami adalah ketika bersama-sama siswa membahas bagaimana proses penyelesaian sebuah soal. Untuk soal yang tingkat kesulitannya sedang atau tinggi, diperlukan beberapa rumus untuk menyelesaikannya. Sambil menyelesaikan soal tersebut saya biasanya sering menanyakan hal-hal kecil yang menurut saya itu sudah menjadi dasar dan perlu diketahui siswa SMA dengan baik. Saya pernah bertanya kepada siswa-siswa bagaimana bentuk uraian dari (a + b)2. Betapa kagetnya ketika saya mendengar beberapa siswa menjawab hasilnya adalah a2 + b2. Mereka menyimpulkan seperti itu bukan berarti tidak berdasar. Mungkin informasi yang mereka terima ketika belajar konsep tersebut ada yang salah. Mungkin gurunya salah menyampaikan atau mungkin siswanya tidak memperhatikan dengan baik ketika penyampaian berlangsung.

Beberapa siswa menganggap matematika adalah sekumpulan “rumus” yang perlu dihapal dan merupakan sesuatu yang “ditemukan” dan bersifat “pasti”. Sehingga matematika dianggap sebagai tumpukan dari rumus-rumus yang harus diahapal. Kadang beberapa siswa hanya melihat bagaimana awal dan akhir dari sebuah rumus, tidak mengetahui bagaimana proses mendapatkan rumus tersebut. Akibatnya, ada anggapan bahwa rumus itu adalah untuk dihapalkan. Padahal bagi beberapa orang menghapal itu susah. Apabila siswa secara aktif memperhatikan guru ketika menyampaikan sebuah rumus dan/atau penurunannya sampai paham, siswa tersebut akan secara lama mengingat rumus tersebut dan memahami bagaimana penerapannya dalam sebuah masalah. Ketika lupa, siswa bisa kembali mendapatkannya dengan cara menurunkannya. Rumus dari (a + b)2 adalah a2 + 2ab + b2. Rumus tersebut akan cepat dilupakan bagi yang kurang kuat hapalannya. Coba perhatikan bagaimana rumus itu terbentuk
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
= a(a + b) + b(a + b)
= a2 + ab + ba + b2
= a2 + 2ab + b2
mungkin akan memberikan kesan bahwa ternyata matematika itu berkaitan satu konsep dengan lainnya dan makna dari rumus tersebut dapat melekat dengan baik, sehingga memudahkan untuk menghapal dan memahaminya.

Posted in Aljabar, Operasi Dasar, Pembelajaran | Leave a comment

Substitusi Bukan “Memasukan”

Posted on April 17, 2012 by Opan

Bagi siswa sekolah yang sudah belajar aljabar, pasti sudah gak asing lagi dengan huruf x sebagai peubah. Terus istilah yang paling sering didenger pada saat belajar aljabar adalah “masukan bilangan ke x”. Kata ini dianalogikan dengan istilah substitusi. Kadang kata substitusi itu sering diganti dengan kata “memasukan” dengan harapan siswa dapat mengerti dengan istilah tersebut. Contoh kalimat yang menggunakan kata substitusi di dalamnya.

“nilai f(x) untuk x = 3 dapat diperoleh dengan memasukan 3 ke x.”

Pasti sebagian besar pembaca sering denger kalimat tersebut. Mungkin dari temannya atau dari gurunya. Tidak salah memang memakai kata/frase tertentu jika dapat dimengerti oleh orang lain. Namun dengan demikian bisa saja terjadi kekeliruan. Ambil saja contoh di matematika. Ketika dipahamkan bahwa substitusi itu adalah “memasukan” siswa jadi bingung ketika menemukan kata substitusi di teknik pengintegralan. Contoh lain lagi pada istilah olahraga khususnya sepak bola. Pemain cadangan dikenal dengan istilah pemain substitusi. Kalau sejak awal siswa dipahamkan bahwa substitusi itu adalah “memasukan” siswa akan bingung mendengar makna sebenarnya dari substitusi.

Makna sebenarnya dari substitusi adalah penggantian. Jauh sekali makna ini dengan “memasukan”. Substitusi 3 ke 2x berarti mengganti x dengan bilangan 3. Makna ini gak bentrok dengan substitusi di integral yang maksudnya adalah mengganti salah satu bentuk integran oleh peubah lain. Dan pemain substitusi berarti pemain pengganti.

Yuk, mulai dari sekarang kita pahami betul istilah-istilah yang kita temui sehari-hari.

Posted in Aljabar | Leave a comment

Beberapa Kekeliruan dalam Memahami Matematika

Posted on April 1, 2012 by Opan

Kekeliruan dapat terjadi pada siapa saja, termasuk saya. Kekeliruan bisa bersifat perseorangan atau masal. Kekeliruan yang bersifat perseorangan bisa diakibatkan karena orang tersebut tidak konsentrasi dalam menerima informasi, sedangkan kekeliruan yang bersifat masal bisa diakibatkan karena kesalahan dari penyampai informasi. Salah satu kekeliruan yang mungkin terjadi adalah kekeliruan dalam memahami pelajaran. Contoh kekeliruan dalam pembelajaran adalah kekeliruan dalam memahami matematika yang dialami oleh siswa. kekeliruan dalam memahami pelajaran matematika bisa disebabkan oleh diantaranya penyampaian guru yang susah dimengerti oleh siswa sehingga siswa mempunyai tafsiran sendiri dalam memahami materi yang disampaikan atau bisa berasal dari siswa yang kurang konsentrasi ketika pembelajaran berlangsung.

Konsep-konsep pelajaran matematika memiliki keterkaitan satu sama lain. Apabila kaitan itu terputus, akan sangat susah memahami suatu konsep matematika. Salah satu bentuk penyampaian konsep matematika yang bisa disalahartikan oleh siswa adalah konsep “coret-coret” ketika belajar aljabar. Pada kali pertama menyampaikan konsep aljabar, beberapa guru kadang melakukan “coret-coret” suku yang sama pada pembilang dan penyebut atau pada ruas kiri dan ruas kanan. Hal ini mungkin membantu penyelesaian soal aljabar kalau dijelaskan secara detil maksud dari “coret-coret” tersebut. Tapi kalau ini disampaikan kepada siswa tanpa memahamkan arti dari “coret-coret” tersebut, siswa bisa keliru.

Contohnya, penyelesaian bentuk aljabar berikut ini.

  • ab = cb
    a = c
  • (ab)/(bc) = a/c
  • a + b = c + b
    a = c

Dengan diberikan informasi seperti itu, siswa mungkin berpikir bahwa bila ada bentuk yang sama, bisa dicoret dan dihilangkan dari perthitungan. Bahkan ada siswa yang menemukan bentuk berpikir bahwa “b” di atas dan “b” di bawah bisa dicoret.

konsep yang terdapat di sana adalah konsep invers. Konsep dasar inilah yang sebaiknya dipahamkan pada siswa. Tidak hanya cara instan saja yang diberikan pada siswa. Contoh di bawah ini adalah penyelesaian bentuk aljabar dengan menggunakan konsep invers.


    —————————————————

Perhatikan bentuk di bawah ini.

Tentu 1 tidak sama dengan 2. Berarti ada kesalahan pada proses di atas.
Coba,,, apa yang salah dari bentuk di atas?

Posted in Aljabar | Leave a comment

Tanya-Jawab Limit Trigonometri 3

Posted on March 24, 2012 by Opan

Posted in Limit, Tanya-Jawab, Trigonometri | 2 Comments

Hapal Rumus Saja Gak Menjamin “Bisa” Matematika

Posted on March 20, 2012 by Opan

Judul post ini sekaligus mengkritik pendapat orang yang bilang bahwa hanya dengan menghapal rumus bisa pintar matematika. Bahkan sebagian orang/kelompok memanfaatkan kesalahkaprahan ini untuk meraup keuntungan. Banyak bermunculan penyedia jasa bantuan belajar dengan embel-embel “rumus cepat” yang menawarkan metode penyelesaian soal matematika dengan sangat cepat dan pendek. Siswa pun dihadapkan pada sesuatu yang bersifat instan. Akibatnya, segala tujuan ingin dicapai secara instan. Ingat bahwa hasil yang baik dengan diiringi proses yang baik akan menghadirkan kualitas yang baik pula. Hasil baik yang diperoleh dari proses yang kurang baik, mengakibatkan kualitas tidak bisa bertahan lama.

Metode “rumus cepat” menitikberatkan hapalan daripada pemahaman. Rumus cepat tersebut sebenarnya diperoleh dari rumus formal yang dimodifikasi menjadi bentuk akhirnya saja. Orang yang sudah paham betul bagaimana menyelesaikan soal secara sistematis mungkin saja mempunyai rumus cepat tersendiri. Perlu hati-hati juga dalam menggunakan rumus cepat. Soal yang bisa diselesaikan dengan rumus cepat punya kriteria tersendiri. Kadang tidak semua soal bisa diselesaikan dengan satu rumus cepat. Hal ini bisa mengakibatkan teledor dalam menyelesaikan soal. Ketika dihadapkan pada soal yang berbeda, akan sangat bingung memilih rumus cepat mana yang digunakan.

Memang rumus cepat itu mempunyai keuntungan, yaitu bisa membantu menyelesaikan soal secara cepat. Tapi alangkah baiknya, sebelum memakai rumus cepat terlebih dahulu pahami konsep secara baik.

Posted in Belajar Matematika, Pembelajaran | 2 Comments

Pembelajaran dengan Pendekatan Minat Anak

Posted on March 17, 2012 by Opan

Tulisan ini terinspirasi dari nonton TV pagi ini. Ingin saya bagikan kepada kawan-kawan semua para pembelajar dan para guru. Begini ceritanya.

Ada anak yang susah banget belajar matematika, sebut saja Ihsan. Nilai matematikanya di sekolah selalu rendah. Seusai ulangan tidak pernah mendapat nilai lebih dari 5. Saking bermasalahnya niy anak, sampe-sampe guru wali kelasnya datang ke rumah Ihsan dan bertemu orang tuanya untuk menceritakan masalah Ihsan. Sempat ada adegan ibu anak tersebut memarahi anaknya karena bukannya anak belajar malah tidur sambil mimpiin Farah Quinn dan Bondan Winarno. Ihsan yang diperlakukan begitu semakin tidak berminat belajar. Ihsan akhirnya belajar bersama temannya. Harapannya bisa belajar lebih nyantai bersama temannya. Eh, sama aja. Teman Ihsan tetap mengajak Ihsan untuk belajar serius. Waktu itu mereka belajar menyelesaikan soal cerita. Soalnya kira-kira begini:”Seorang pedagang paku memiliki paku seberat 1 Ton 2 Kuintal dan 100 Kg, Berapakah berat paku pedagang tersebut jika dinyatakan dalam Kg?“. Gak ada minat Ihsan sedikit pun untuk menyelesaikan soal tersebut. Temannya Ihsan tidak kehilangan akal untuk membuat Ihsan belajar. Teman Ihsan tau betul apa yang selalu Ihsan minati, yaitu yang berhubungan dengan makanan. Kata paku dalam soal diganti dengan sesuatu yang berhubungan dengan makanan, misalnya bakpau. Soal cerita di atas menjadi “Seorang pedagang bakpau memiliki bakpau seberat 1 Ton 2 Kuintal dan 100 Kg, Berapakah berat bakpau pedagang tersebut jika dinyatakan dalam Kg?“. Ternyata apa yang dilakukan teman Ihsan ampuh untuk membuat Ihsan belajar dan memahami soal. Dan belajar bersama pun menjadi lebih menyenangkan.

Itulah belajar. Setiap siswa memiliki minat tersendiri terhadap objek belajar. Apa yang dia minati biasanya menyenangkan bagi dia. Begitu pun dalam belajar, jika belajar dikaitkan dengan apa yang diminati, belajar pun akan terasa menyenangkan.

Posted in Belajar Matematika, Pembelajaran | Leave a comment

Nyanyian Perbandingan Trigonometri

Posted on March 12, 2012 by Opan


Perbandingan Trigonometri
(nyanyikan seperti lagu PELANGI)
Perbandingan trigonometri
Ada tiga jenisnya
Sinus dan Cosinus
juga ada Tangen
Sin depan per miring
Cos samping per miring
Kalau Tangen depan dibagi samping

Baca pembahasan lengkapnya di
http://blog.matematika.us/29/perbandingan-trigonometri/

Posted in Trigonometri | Leave a comment

Coba-Gagal-Coba-Gagal-…-Berhasil

Posted on March 11, 2012 by Opan

Pernah gak mikir kalo beberapa masalah kadang gak bisa langsung diselesaikan dengan satu cara? Kadang kita harus coba beberapa cara untuk menyelesaikannya. Kalo cara 1 gak bisa coba dengan cara 2, gak bisa juga dengan cara 2 coba dengan cara 3, dan seterusnya sampai masalah terselesaikan. Ingat mungkin dengan istilah “Plan B”.

Menyelesaikan masalah matematika juga gitu. Tidak semua soal matematika bisa diselesaikan dengan “rumus” dan langsung bisa dapet jawabannya. Kalo untuk hitung-hitungan contohnya 1 + 2 = 3 itu bisa diselesaikan secara langsung. Siswa SD awal mungkin menyelesaikan itu dengan cara mencacah menggunakan jari-jari mereka.

Masih ingat kan bagaimana mencari akar-akar persamaan kuadrat. Ada tiga cara, dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan dengan rumus ABC (biasa disebut rumus kecap, namanya mirip dengan merk kecap, hehe). Dari ketiga rumus itu yang paling mudah dipakai adalah rumus ABC, karena dengan cara itu, akar-akar persamaan kuadrat bisa langsung didapatkan. Ini dia rumusnya, bagi yang suka menghapal pasti rumus di bawah ini sangat membantu.

Cara yang paling susah adalah cara melengkapkan kuadrat sempurna. Menurut sebagian besar siswa, cara ini dianggap susah karena terdapat langkah-langkah yang rada ribet. Padahal rumus ABC di atas didapat dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna dari bentuk umum persamaan kuadrat.

Cara yang paling mudah dan paling pendek adalah dengan mencari faktor dari persamaan kuadrat. Namun beberapa siswa mengeluhkan tidak bisa mencari faktornya.

Nah, di sinilah diperlukan coba dan gagal, kemudian berhasil. Bagi pemula, biasanya agak sulit untuk mencari akar-akarnya. Cobalah mulai dengan faktor-faktor dari konstantanya.

Posted in Persamaan Kuadrat | Leave a comment

“Rumus” Matematika Bukanlah “Mesin” Penghasil Jawaban Soal Matematika

Posted on March 3, 2012 by Opan

“Pak, untuk ngerjain soal matematika ini pake rumus yang mana?”

Baik secara langsung atau secara tidak sadar mungkin Anda pernah bertanya seperti itu. Bagi seorang guru, mungkin pertanyaan itu juga pernah didengar dari beberapa siswanya yang sedang belajar matematika. Yah, begitulah fenomenanya belajar matematika. Beberapa siswa berpikir bahwa untuk menyelesaikan suatu soal matematika adalah dengan secara langsung menggunakan rumus tertentu, sehingga tiap mendapat soal matematika yang terpikirkan adalah rumus. Ada benarnya juga, karena beberapa soal matematika bisa diselesaikan dengan hanya satu rumus. Namun, tidak semua soal matematika seperti itu.

Rumus matematika bukanlah mesin yang bisa menghasilkan jawaban dari suatu soal matematika. Rumus matematika lebih merupakan komponen-komponen mesin yang harus dirakit terlebih dahulu agar dapat digunakan untuk menjawab soal matematika. Di sini dibutuhkan kemampuan berpikir sistematis untuk menyusunnya. Ingat, bahwa antar materi matematika memiliki keterhubungan yang disebut dengan koneksi matematik.

Posted in Belajar Matematika, Pembelajaran | Leave a comment

Tanya-Jawab Teorema Sisa

Posted on February 21, 2012 by Opan

Jawaban dari pertanyaan Fanny Widya pada halaman tanya-jawab.

Soalnya:
Fungsi f(x) dibagi x-1 sisanya 3, sedangkan jika dibagi x-2 sisanya 4. jika dibagi x^2-3x+2, maka sisanya….

Soal di atas bisa diselesaikan dengan konsep teorema sisa. Berikut adalah salah satu bunyi dari teorema sisa:
Jika polinom f(x) dibagi x – a maka sisanya f(a)

Sebelum ke penyelesaian utama, perlu diketahui bahwa polinom f(x) bisa dinyatakan dalam bentuk perkalian pembagi dan hasil baginya ditambah sisa pembagian. Secara sederhana dituliskan sebagai
f(x) = p(x) h(x) + s(x).
Derajat dari sisa pembagian sama dengan derajat pembagi dikurangi 1.
deg[s(x)] = deg[p(x)] – 1.

Dengan menggunakan teorema sisa dari yang diketahui di soal, kita akan memperoleh bentuk berikut.
f(x) dibagi x – 1 bersisa f(1), dari soal diketahui sisanya 3, berarti f(1) = 3
f(x) dibagi x – 2 bersisa f(2), dari soal diketahui sisanya 4, berarti f(2) = 4

Ditanyakan sisa pembagian f(x) oleh . Derajat dari pembagi, yaitu adalah 2. Dengan demikian, derajat sisanya adalah 1. Secara umum dapat dituliskan sebagai ax + b. Hubungan polinom f(x), pembagi dan sisa pembagian ax + b dapat dituliskan sebagai berikut.
f(x) = () h(x) + (ax + b)
Pembagi dapat difaktorkan menjadi
(x – 1)(x – 2), sehingga bentuk di atas dapat ditulis menjadi
f(x) = (x – 1)(x – 2) h(x) + (ax + b)

Nah, untuk mendapatkan sisanya, yakni s(x) = ax + b, kita harus mencari nilai a dan b.
Dari bentuk f(x) = (x – 1)(x – 2) h(x) + (ax+b) kita dapat memperoleh
f(1) = (1 – 1)(1 – 2) h(1) + (a(1)+b) = 0 + a + b; a + b = f(1)
f(2) = (2 – 1)(2 – 2) h(2) + (a(2)+b) = 0 + 2a + b; 2a + b = f(2)
dan kita ketahui sebelumnya bahwa f(1) = 3, f(2) = 4, sehingga
a + b = 3
2a + b = 4
Dengan menyelesaikan sistem persamaan di atas, kita peroleh a = 1 dan b = 2. Substitusi ke s(x) = ax + b.

Jadi, sisa pembagian f(x) oleh adalah s(x) = x + 2.

Posted in Polinom, Tanya-Jawab | Leave a comment